tas fueron dados á conocer entre nosotros, á mediados del siglo siguiente, por el eminente matemático portugues Pedro Nuñez, que publicó la primera obra de Álgebra en español.

Los signos +, -, V, se deben al aleman Rudolfo, en 1532; al inglés Ricord, el signo, en 1552, y el empleo general de las letras para representar las cantidades, al frances Viete, hácia 1580. Éste fué el mayor progreso realizado en el Álgebra, pues al empleo de ciertas palabras como cosa, censo, etc., con que se designaban los elementos del cálculo algébrico, y no todos, se sustituyó é hizo general el uso de las letras del alfabeto con gran sencillez y trascendencia.

El signo corresponde á Ougthred, y los >, <, á Harriot, todos á principios del siglo XVII. La interpretacion de las cantidades negativas se debe á Descartes; la de las imaginarias, á varios matemáticos contemporáneos nuestros, y entre ellos al filósofo español Sr. Rey y Heredia. Durante el siglo citado y el siguiente, se estudia con gran empeño la resolucion general de las ecuaciones, y con ello una porcion de cuestiones accesorias, distinguiéndose á fines del mismo el piamontés Lagrange con sus profundas investigaciones. Desde principios del actual no es menor el ahinco con que se trabaja en esta cuestion y en el de la teoría general de los números, pues ademas de las investigaciones del innovador Wronski, se han creado con estos motivos nuevas teorías y descubierto numerosos y vastos horizontes, en los que se prosigue hoy con tanto ardor, que puede decirse atraviesa el Algebra un período de crísis que la hará trasformarse radicalmente dentro de pocos años.

El cálculo infinitesimal tiene su origen en dos de los primeros genios matemáticos de Europa, Newton y Leibnitz, quienes lo disputaron con encarnizamiento. Muy cultivado durante la pasada centuria por los Bernouilli y otros matemáticos, así como en la actual, presenta aún muchas lagunas, que se procura llenar trabajando con ahinco en sus difíciles cuestiones.

10. Relaciones é importancia de la Matemática. Serémos muy breves en estos puntos como en los anteriores. Relaciónase inmediatamente la Matemática con la Metafísica en cuanto esta ciencia suministra á aquélla los primeros conceptos de tiempo, espacio, infinito

y

otros, recibiendo en cambio soluciones que utiliza en sus propias investigaciones. Suministra la Lógica á la Matemática los métodos y procedimientos dialécticos, recibiendo de ésta leyes relativas al órden

y

á otros de sus objetos inmediatos. Relaciónase asimismo con todas las artes y ciencias de las que intervienen en la investigacion de las leyes naturales y sociales, y en la conversion en elementos útiles para el hombre de las fuerzas ciegas de la Naturaleza, con la cual se dilata de dia en dia su dominio sobre ésta y se perfecciona y mejora su transitoria existencia material.

No hay Física, ni pronto habrá Química, sin Matemáticas. No hay profesion en la que no sean útiles, y en muchas son indispensables. Todo esto nos indica la gran importancia de su estudio. No en baldo exigia Platon á sus discípulos en Filosofía que fueran matemáticos; por esto han cultivado tales ciencias todos los pueblos cultos, y ni puede ni debe llamarse legítimamente hijo de nuestro siglo quien no posea sus más elementales conocimientos.

MÉTODOS Y PLAN.

11. Proposiciones. Los principales elementos sobre que operan las Matemáticas son los siguientes:

Axioma, principio evidente por sí mismo.

Definicion, sucinta exposicion de la idea que trata de presentarse. Enunciado, resúmen de una proposicion.

Demostracion, raciocinio que manifiesta la verdad de un enunciado. El medio único de la demostracion matemática es la deduccion, esto es, hacer entrar el enunciado dentro de una proposicion demostrada, ó en último término, de un axioma. A la operacion inversa de la deduccion llamarémos reduccion.

Postulado, verdad comprobable, esto es, que admitida se llega á otras demostrables, pero no demostrable directamente.

Teorema, verdad demostrable. El teorema consta de dos partes; hipótesis ó suposicion, que es la base de la demostracion, y tésis ó conclusion que es su consecuencia ó fin.

Reciproco de un teorema es otro cuya hipótesis es la tésis del segundo y cuya tésis es la hipótesis de éste,

Lema es un teorema preliminar ó auxiliar.

Corolario es un teorema que se deriva fácilmente de otro.
Escolio es una advertencia aclaratoria.

Operacion es una trasformacion cuantitativa hecha conforme á reglas determinadas.

Algoritmo es una forma general que abraza un grupo de operaciones indicadas.

Teoría es un conjunto de teoremas ligados íntimamente por la analogía de la cuestion sobre que versan.

Problema es la aplicacion de algunos teoremas ó teorías á alguna proposicion de utilidad técnica ó práctica.

Datos son los elementos conocidos de un problema, y con cuyo auxilio se ha de resolver éste.

Incógnitas ó soluciones son las cantidades que se han de conocer despues de resuelto el problema.

12. Análisis y síntesis. Método, es el camino ó procedimiento intelectual para averiguar la verdad. Los métodos especiales que se siguen, tanto en la demostracion de los teoremas como en la resolucion de los problemas, varian aparentemente en las diversas ciencias matemáticas, y áun en cada una dentro de las várias teorías. Pueden, sin enbargo, reducirse á dos, á saber, método analítico y método sintético. Estas palabras no tienen la misma acepcion para todos los matemáticos y filósofos; darémos, sin embargo, la más racional.

Cuando partiendo de la cantidad aplicada á cualquier objeto Ilegamos á descubrir algo que no estaba incluido en la definicion del mismo, empleamos la síntesis. Este es el camino que se sigue precisamente en la mayoría de las proposiciones de la Geometría elemen tal, por lo cual algunos la llaman Geometría sintética. Es lo que de un modo gráfico se expresa diciendo que es partir de lo conocido á lo desconocido.

El análisis, por el contrario, procura sacar de la definicion del objeto todas las propiedades posibles. Es lo que se dice, aunque con notoria impropiedad, partir de lo desconocido á lo conocido. Suele designarse con el nombre de análisis matemático una gran parte del Algebra propiamente tal y de los cálculos, y á estos últimos en especial se llama análisis infinitesimal. Justifícase esta denominacion por

servir estos ramos de la Matemática para la investigacion de la verdad, partiendo de propiedades particulares, prescindiendo per completo de la naturaleza del problema.

Por esto se llama tambien Geometría analítica al método con el cual se obtienen las propiedades geométricas, haciendo abstraccion completa de la cuestion geométrica en sí, y atendiendo únicamente á su objeto algébrico.

13. Aplicacion de los métodos. Precisemos más el carácter del análisis de la síntesis aplicados ya á la demostracion de los teoremas, ya á la resolucion de los problemas.

y

Dado el enunciado de un teorema se verá si está incluido en alguna de las proposiciones ya demostradas; de no ser esto posible se procura que caiga dentro de otra proposicion, la cual pueda incluirse á su vez en otra demostrada, y se usarán así várias proposiciones accidentales incluidas unas en otras hasta realizar el propósito. Este es el método analítico que, como se ve, procede por reducciones (11) sucesivas.

El método sintético en la demostracion de los teoremas es propiamente el de deduccion directa. Se parte de una proposicion conocida y se hace incluir en otras sucesivas hasta llegar á la desconocida.

En la resolucion de los problemas es asimismo bien clara la distincion de ambos métodos. El analítico consiste en hacer depender el problema de otro, éste de un tercero, y así sucesivamente hasta llegar á uno de solucion conocida. El sintético, por el contrario, consiste en partir de un problema conocido, en deducir de su solucion la correspondiente al anteúltimo, de ésta la del anterior, y así sucesivamente hasta llegar al problema que se trata de resolver.

Esta aplicacion de los métodos, así como el uso de numerosos teoremas y problemas, se ve más claro en la Geometría que en la Aritmética y Algebra.

En muchas teorías, y áun en algunos teoremas y problemas, se siguen ambos métodos, aplicando uno á una parte y otro á otra; el fin de la ciencia es averiguar la verdad, y conviene seguir el camino más breve y expedito; sin embargo, para la facilidad en el estudio conviene no mezclar los métodos dentro de una misma proposicion.

14. Reduccion al absurdo. El método de reduccion al absurdo, em

pleado en la resolucion de los teoremas, consiste en hacer ver que negando el resultado de una proposicion, se llega á consecuencias contradictorias con otros teoremas ó con axiomas, y que proviniendo esto de haber negado la verdad de la proposicion, hay que admitirla forzosamente. Este método tiene graves inconvenientes, pues á veces se cae en un absurdo por no admitir un principio, y sin embargo, éste no es cierto; por esta razon debe limitarse su empleo á los teoremas recíprocos, y áun en éstos con ciertas restricciones que pasamos á exponer, sin entrar en su demostracion lógica.

Cuando un teorema tiene para una misma hipótesis un número limitado de tésis, y éstas son distintas entre sí, el recíproco es cierto y puede emplearse la demostracion al absurdo. Con efecto, en este caso, al demostrar que de no admitirse una parte del recíproco caeriamos en un absurdo, tenemos en cuenta que se verificarian otras de las partes del teorema directo, las cuales tienen toda solucion distinta de aquella que sirve actualmente de hipótesis. Por esta razon suelen suprimir los autores las demostraciones de los recíprocos, cuando el teorema directo tiene várias soluciones distintas con arreglo á diversas fases de la hipótesis.

La aplicacion principal de este método es tambien á la Geometría. Hay algunos otros métodos especiales, pero ó están incluidos en los anteriores, ó no pueden exponerse claramente sin emplear ejemplos, que en este lugar serian impropios.

15. Empleo de las letras. Las cantidades generales se expresan por medio de las letras del alfabeto, y pueden significar extensiones, números, cantidades en general (3). Ya hemos dicho que éste fué uno de los principales progresos del Algebra (9). Sin embargo, no consiste precisamente el adelanto y rigor de las ciencias matemáticas en el empleo de las letras, sino en el encadenamiento de sus proposiciones y en el rigor de sus métodos.

Los signos que sucesivamente irémos dando á conocer están en el mismo caso, así como la representacion de cantidades geométricas y áan algébricas por medio de figuras. Todos estos medios constituyen la Ortografia de la ciencia.

Cierto es que el uso de todos estos medios auxiliares no aumenta el carácter general ni la exactitud de la ciencia: tan universal es un